カテゴリー: 受験算数

問題
５＋（４＋□×２）÷３＝１１　□はいくつでしょう？

【解説】
定番の「四角の計算（逆算）」。
慣れてきたら、頭の中でババッと出してもらえればと思いますが、まずは、しっかり順番を意識すること。
色々な方法がありますが、「もし普通の計算だったら」どの順番で計算するかを考え、順番を+-×÷の計算記号の下にメモして、順番が後のものから、答えから１つずつ戻していく（必要なら計算を四角で囲んで見やすくする）などがあります。
そして、簡単な問題の場合は、答えが出た後、本当にその数が当てはまるかの確認もぜひしましょう！

【答え】
メイン問題
□＝７

基本問題
■＝５
（最初の逆算は５＋の部分）

【問題】
（１）１から１００までに３の倍数はいくつあるでしょう？
（２）１００から２００までに４の倍数はいくつあるでしょう？

【解説】
「３の倍数の個数」と聞いたときに、３で割ればいい、と答える生徒が多いのですが、なんで３で割って出た数が、倍数の個数なのかを理解していないと、（２）は引っかかってしまいます。
大きく「３の倍数は、３・６…のように３個に１個出てくるから、といって規則性を利用する方法」、「３の倍数は、３×１、３×２…のように考えていって、条件に当てはまるのはどこからどこまでかを考える方法」の２つが有名なものとしてあります。
どちらの方法でもよいのですが、自分の言葉で説明できるようにしておいてください。

【答え】

メイン問題
（１）３３個
（２）２６個

基本問題
１１個（引き算で出るのは、間の数）

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問題
八角柱、八角すいの「辺の数」「頂点の数」「面の数」をそれぞれ求めよ。

解説
この問題も「八角」だから難しい、というところから、三角柱・三角すい、四角柱・四角すいと「数が小さいもの」で考えてみると、様子がつかみやすいです。
さらに物を数えるとき、「全部でいくつ」ではなく、この部分はいくつ、あそこの部分はいくつ、のように、場所ごとに分けて数えて、まとめておくと、数え損ねることが少なくなり、パターンも見やすくなります。

答え
問題　八角柱－　　辺２４本・頂点１６個・面１０面
八角すい－　辺１６本・頂点９個・面９面

基本問題　辺８本・頂点８個・面６面

問題
次の図形についての問いに答えてください。
（１）正八角形の内角の和は何度でしょう？
（２）正八角形の外角の和は何度でしょう？
（３）正八角形に対角線は何本引けるでしょう？

解説
（１）内角の和と来たら、どんな三角形でも内角の和は１８０度と使っていきたいところ。
①１つの頂点から他の頂点に向けて、線を引いて三角形に分けていく。②全部の頂点から、中心に線を引いて三角形に分けていく、この２つとも持っておきたい考え方。もちろん八角形を描いてもらってもいいが、難しいという人は、三角形・四角形・五角形・六角形くらいまで描いて、パターンを見つけていくというのもいい解答です。
（２）外角の和は、（１）の内角の和から、１つの内角の大きさを出すのが王道ですが、実は何角形でも、外角の和は変わらなかったりします。そのため、（１）の内角の答えを、（２）で１つの外角を出してから、求める
という裏技的な方法もあったりします。
（３）もちろん公式もありますが、基本的にはまず描いてみましょう。規則がきっと見つかります。
参考までに、公式は、「１つの頂点から何本引けるか」×「頂点がいくつあるか」を考える。でも、その考え方だと、１つの線を２回数えているので、２で割る、という考えで、自分で作ることができます。

答え
問題
（１）内角の和　１０８０度（１角当たり１３５度）
（２）外角の和　３６０度
（３）対角線　２０本

基本問題
内角の和　５４０度（１角当たり１０８度）
外角の和　３６０度
対角線　５本

 

 

問題
上底３ｃｍ、下底７ｃｍ、高さ４ｃｍの台形の面積を求めてください。

【解説】
台形の面積というと「（上底＋下底）×高さ÷２」という公式を覚えている人も多いかと思いますが、せっかくなので、「なんでその公式で出せるのか」というところを考えましょう。
さらにさかのぼると、そもそも「面積」とは何か、というところになるのですが、１辺が１ｃｍの正方形の面積を「１ｃｍ２（へいほうセンチメートル）」として、それがいくつあるか、で広さを表すものが面積。そこから長方形の面積が「たて×よこ」で出せる理由はわかります。そこから、平行四辺形の面積を経て、今回の台形・三角形の面積の式も理解できるようになります。

【答え】
メイン問題
20㎝2

基本問題　6㎝2

問題
「６分の５」「８分の５」「０．８」
この３つを大きい順に並べてください。

解説
分数と小数のように、違った種類のものを比べるのは難しいので、こういう時には、まずどちらかにそろえるところから。
小数は、「大小関係」は解りやすいですが、１．６６６６…のように「正確に表せないことがある」という弱点があり
分数は、逆にどんな場合でも「正確に表せる」が、比べるときに、「分母か分子をそろえないといけない」という弱点もあります。
それを踏まえ、どっちにそろえるかを考えるところから問題は始まります。

答え
「６分の５」「０．８」「８分の５」
基本問題
０．６２５、２５分の６

問題
２０１２年の２月１日は水曜日です。さて同じ年の５月１２日は何曜日でしょうか？

ポイント解説
規則性に加え、いわゆる「にしむくさむらい（２・４・６・９・１１）」の、月ごとの日数、そして、何日目・何日後という最初の日を含むかどうか、という間違えやすいポイントが多い問題です。
ただそこに気を付ければ、「何週間あって、何日余るか」を出す、通常の規則性の問題となります。
また、この問題を見たときに、「７日後」は同じ曜日ということを利用して、書き出していこう！という意気込みもほしいところです。

【答え】
基本問題
土曜日
メイン問題
土曜日
（うるう年なので2月29日があります）

【問題（問題ＰＤＦ）】
３・２・１・２・３・２・１・２・３・２・１・２・３…
数が上のように規則正しく並んでいます。
（１）５０番目は何でしょう？
（２）５０番目までに出てくる数を全部足すといくつでしょう？

解説動画ー規則性１－生徒用
解説動画ー規則性１－保護者用

【生徒向け解説】
規則性の問題は、当たり前ですが、まずは「規則」を見つけること。そしてその規則が「繰り返し」になっていたときは、「グループ（群）」を作って考えるのですが、応用問題にも対応できるよう、今のうちから、どこからどこまでが１グループかはしっかり意識し、何番目と何グループ目をしっかり区別して計算し、計算で出た数字が何を表すのかは、しっかりいえるように考えを進めましょう。

【答え】
基本問題　白（１６グループの後に、白白と続く）
（１）２　（５０÷４＝１２余り２　３２１２が１２グループ続いた後３・２）
（２）１０１（１グループで８、それが１２個と３と２）

【保護者向け解説】

規則性の問題は、この後の数列・曜日の問題に続くことに加え、その場での思考力を問う問題が作りやすいため、今後、出題頻度が上がっていく問題ですので、基本的な問題でしっかりと意識を作っていきたいです。
今回は繰り返しが見られる問題なので、グループを作っていくのですが、そのグループがどこからどこまでをまとめているかが意識できているのか、また機械的に５０÷４のように計算をしているだけで、答えの１２余り２のそれぞれの数字が何を表しているのかが理解できているか、を確認してもらえればと思います。

そのうえで、同じ数ずつ増えていく等差数列と、この同じものの繰り返しの数列を合わせた「規則的に変化していくグループ」の問題につなげていければと思います。

【問題（問題ＰＤＦ）】
たて２４ｃｍ、よこ３６ｃｍの紙があります。
（１）この紙を同じ向きに並べて正方形を作ります。できるだけ少ない枚数で作りたい場合、１辺が何ｃｍの正方形ができるでしょうか？
（２）この紙を余りが出ないように切って、同じ大きさの正方形をつくります、１辺ができるだけ長い正方形にしようとすると、何枚できるでしょう？（ただし辺の長さは整数であるものとする）

解説動画ー倍数約数（整数１）－生徒用
解説動画ー倍数約数（整数１）－保護者用

【生徒向け解説】
倍数約数の問題というと、その求め方や、最小公倍数・最大公約数を簡単に求める裏ワザ（割り算の逆の形の）なとに注目されますが、実際に問題として出てくるのは、公倍数・公約数という言葉が出てこないもの。
だから問題を見て、考えてみて、「あっ、これは公倍数だ！」のように気づいて解いていくことが必要です。ネタばらしになりますが、この問題も倍数・約数を使うのですが、「なぜ使うのか」ということまで考えて、授業を思い出してください。

【答え】
基本問題　最小公倍数７２・最大公約数１２
（１）７２ｃｍ　（６枚）
（２）６枚（１辺１２ｃｍ）

【保護者向け解説】

倍数約数の分野は、連除法(すだれ算)の使い方が中心に授業されることが多いですが、まずは倍数は、元の数に整数をかけてできる数（３の倍数は「３かけるなにか」)で、約数は元の数をキレイに(整数に)割り切ることができる数というイメージをしっかり持ち、書き出していけるようにするのが最初。さらに大きな数の約数を求める時に、約数はペアになって存在する、と伝えますが、例えば１２の約数として２が見つかったら、実際に１２わる２の答えとなる６も約数に入るので、真ん中までいけば書き出すことができる(応用として、素因数分解の結果から個数をだす、につながる)ことを身につけてほしいと思います。

その上で、文章題になったときに、まず倍数、約数を求める生徒が多いですが、今回はなぜ倍数なのか、約数なのかを、逆ではないから(約数でないから倍数)ではなく、しっかり倍数で求められる理由を身につけているかどうか確認してください。

 

解説動画ー倍数約数（整数１）－生徒用
解説動画ー倍数約数（整数１）－保護者用

【生徒向け解説】

（全体の利用法・案内ならびに、問題はこちらをご覧ください）
たこまる算数　http://go-navi.jp/